【数列求和公式】在数学中，数列求和是一个重要的基础概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。根据数列的类型不同，求和公式也各不相同。以下是对常见数列求和公式的总结，并通过表格形式进行展示。
一、等差数列求和公式
等差数列是指每一项与前一项的差为常数的数列，记作 $ a_n = a_1 + (n - 1)d $，其中 $ a_1 $ 是首项，$ d $ 是公差。
求和公式：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
或
$$
S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
二、等比数列求和公式
等比数列是指每一项与前一项的比为常数的数列，记作 $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $，其中 $ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比。
求和公式：
当 $ r \neq 1 $ 时，
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
$$
当 $ r = 1 $ 时，
$$
S_n = n \cdot a_1
$$
三、自然数列求和公式
自然数列是等差数列的一种特殊情况，即 $ a_n = n $，首项 $ a_1 = 1 $，公差 $ d = 1 $。
求和公式：
$$
S_n = \frac{n(n + 1)}{2}
$$
四、平方数列求和公式
平方数列是 $ a_n = n^2 $ 的数列。
求和公式：
$$
S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}
$$
五、立方数列求和公式
立方数列是 $ a_n = n^3 $ 的数列。
求和公式：
$$
S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2
$$
六、其他特殊数列
对于一些特殊的数列（如调和数列、斐波那契数列等），没有统一的求和公式，通常需要使用递推关系或近似计算方法。
数列求和公式总结表
| 数列类型 | 通项公式 | 求和公式 |
| 等差数列 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ |
| 等比数列 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ (r ≠ 1) |
| 自然数列 | $ a_n = n $ | $ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} $ |
| 平方数列 | $ a_n = n^2 $ | $ S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} $ |
| 立方数列 | $ a_n = n^3 $ | $ S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2 $ |
通过掌握这些基本的数列求和公式，可以更高效地解决许多实际问题。在学习过程中，建议结合具体例题进行练习，以加深对公式的理解与应用能力。
